Contoh Soal dan Jawaban tentang Peluang Kejadian Saling Bebas

Konten tentang probabilitas dari dua kejadian yang tidak bergantung satu sama lain diajarkan pada tahun pertama sekolah menengah atas. Agar dapat memahaminya dengan baik, diperlukan untuk mengerjakan beberapa latihan soal terkait.

Dalam Matematika , khususnya dalam teori peluang, kejadian saling bebas adalah dua kejadian atau lebih yang tidak saling memengaruhi.

Misalnya, ketika kita melemparkan sebuah koin dan sebuah dadu. Koin menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 6.

Maka, hasil lemparan koin tidak ada hubungannya sama sekali dengan lemparan dadu. Peristiwa ini disebut dengan kejadian saling bebas.

Rumus Peluang terjadinya peristiwa yang saling lepas ditunjukkan oleh rumus: P(A∩B) = P(A) × P(B).

Keterangan:

P(A ∩ B) = Peluang kejadian A dan B

P(A) = Peluang kejadian A

P(B) = Peluang kejadian B

Untuk lebih memahami teori peluang kejadian peluang bebas, simak contoh soal berikut ini.

Jawab:

- Menentukan anggota himpunan masing-masing:

E = {sekop as, hati as, berlian as, keriting as}, sehingga n(E) = 4

F = {sekop as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Ratu, King}, sehingga n(F) = 13

E ∩ F = {sekop ace}, n(E ∩ F) = 1

- Menentukan peluang masing-masing :

n(s) = 52

P(E) = n(E)/n(S) = 4/52 = 1/13

P(F) = n(F)/n(S) = 13/52 = 1/4

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑛(𝐸 ∩𝐹)/𝑛(𝑆) = 1/52

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑃(𝐸)×𝑃(𝐹)

1/52 = 1/13 ×1/4

1/52 = 1/52

Karena 𝑃(𝐸∩𝐹) = 𝑃(𝐸) × 𝑃(𝐹) berlaku, dapat disimpulkan bahwa kejadian E dan F adalah saling lepas atau bebas satu sama lain.

2. Di sebuah kota terdapat satu unit mobil pemadam kebakaran serta satu unit ambulance yang selalu standby saat ada situasi darurat. Kemungkinan bahwa mobil pemadam kebakaran dapat digunakan ketika dibutuhkan adalah 0,98, sementara kemungkinan untuk ambulance adalah 0,92. Jika terjadi insiden kebakaran pada bangunan di kota ini, berapakah probabilitas kedua alat transportasi itu bisa bertindak dengan baik?

Jawab:

Sebagai contoh, P(A) = Kesiapan Pasukan Pemadam Kebakaran = 0,98

Peluang ambulance tersedia, P(B), adalah 0,92.

Kemungkinan kedua mobil itu dapat dinyatakan sebagai P(A ∩ B).

Peluang dari A dan B terjadi bersamaan adalah hasil kali peluang A dengan peluang B yaitu P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

= 0,98 . 0,92

= 0,9016

Maka kemungkinan kedua kendaraan itu dapat digunakan kembali adalah 0,9016.

3. Di sebuah kota terdapat dua unit truk pemadam kebakaran yang bertugas secara independen. Probabilitas bahwa kedua truk ini siap saat dibutuhkan adalah 0,16, sedangkan probabilitas bahwa hanya satu dari mereka yang siap saat diperlukan adalah 0,5. Hitunglah kemungkinan bahwa truk satunya lagi akan siap jika dibutuhkan.

Jawab :

Misal:

Insiden untuk mobil pertama adalah A dan jumlah mobil yang ada adalah B. Peluang dari kedua insiden tersebut terjadi bersamaan yaitu P(A ∩ B) sebesar 0,16. Sementara itu, probabilitas bahwa setidaknya satu mobil tersedia adalah 0,5 atau disebut juga sebagai P(A). Mengingat keduanya merupakan peristiwa yang tidak bergantung pada satu sama lain sehingga berlaku hubungan seperti ini:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

0,16 = 0,5 x P(B)

P(B) = 0,32.

Jadi, peluang Mobil cadangan tersedia saat dibutuhkan sebesar 0,32.

4. Apabila A dan B merupakan kebebasan satu sama lain, buktikan hal tersebut dengan menunjukkannya

a. Ac dan B juga saling bebas.

b. A dan Bc juga saling bebas.

c. Ac dan Bc pun sama-sama independen.

Jawab:

a. Sebab Ac ∩ B = B – (A ∩ B), sehingga

P(Ac ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B)

dan karena A dan B saling bebas maka P(A ∩ B) = P(A) P(B) sehingga

P(Ac ∩ B) = P(B) - P(A) x P(B)

= P(B) (1 – P(A))

= P(B) P(Ac )

= P(Ac ) P(B).

Itu menunjukkan bahwa peristiwa B dan A tidak terkait secara acak.

b. Sebab A ∩ Bc = A – (A ∩ B), sehingga

P(A ∩ Bc) = P(A) – P(A ∩ B), dan bila A dan B saling lepas, maka P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Sehingga

P(A ∩ B^c) = P(A) - P(A) * P(B)

= P(A) × (1 - P(B))

= P(A) P(Bc )

= P(A) P(Bc)

c. Sebab P(Ac ∩ Bc) = P((A ∪ B)c)

= 1 - P(A gabungan B)

= 1 – ( P(A) + P(B) − P(A ∩ B) )

= 1 – P(A) – P(B) + P(A ∩ B)

= (1 – P(A))(1 - P(B)) = P(A^c) P(B^c)

mengingat A dan B tidak bergantung satu sama lain.

Anda telah membaca artikel dengan judul Contoh Soal dan Jawaban tentang Peluang Kejadian Saling Bebas. Semoga bermanfaat dan terima kasih sudah berkunjung di website Kaweden MYID.